例 2 黎曼函数定义为
$$ R\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{q}, & \text{ 如果 }x = \frac{p}{q}\left( {q > 0}\right) \text{ 是既约分数, } \\ 0, & \text{ 如果 }x\text{ 是无理数. } \end{array}\right. $$
我们来证明函数 $R$ 在任何闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可积.